Excelente Libro de algebra por el Profesor Carlos, siempre es bueno tener material sobre esta asignatura
INDICE:
Preliminares conjuntistas xv
Cap´ ıtulo I: Los n´ umeros enteros y racionales 1
1.1 Construcci´ on de los n´ umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Cuerpos de cocientes. N´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cap´ ıtulo II: Anillos de polinomios 15
2.1 Construcci´ on de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evaluaci´ on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´ ıtulo III: Ideales 25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´ ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´ ıntegros 29
4.1 Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Divisibilidad en Z ........................... 35
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Cap´ ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45
5.1 Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 N´ umeros perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vvi ´ INDICE GENERAL
Cap´ ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65
6.1 Ternas pitag´ oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 N´ umeros de la forma x2 +3y2 .................... 74
6.5 La ecuaci´ on x2 +3y2 = z3 ...................... 77
6.6 El ´ Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Enteros ciclot´ omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Cap´ ıtulo VII: M´ odulos y espacios vectoriales 87
7.1 M´ odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Suma de m´ odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 M´ odulos libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Cap´ ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Homomorfismos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Cap´ ıtulo IX: Grupos 135
9.1 Definici´ on y propiedades b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Generadores, grupos c´ ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Conjugaci´ on y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Cap´ ıtulo X: Matrices y determinantes 157
10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´ ıtulo XI: Enteros algebraicos 179
11.1 Definici´ on y propiedades b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 185
11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.4 Factorizaci´ on ´ unica en cuerpos cuadr´ aticos . . . . . . . . . . . . . 195
11.5 Aplicaciones de la factorizaci´ on ´ unica . . . . . . . . . . . . . . . . 201´ INDICE GENERAL vii
Cap´ ıtulo XII: Factorizaci´ on ideal 207
12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2 Factorizaci´ on ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaci´ on ´ unica . . . . . 220
Cap´ ıtulo XIII: Factorizaci´ on en cuerpos cuadr´ aticos 223
13.1 Los primos cuadr´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.3 C´ alculo del n´ umero de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Cap´ ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´ atica 243
14.1 Introducci´ on..............................243
14.2 El s´ ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.3 El s´ ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Cap´ ıtulo XV: La teor´ ıa de Galois 259
15.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.2 Extensiones ciclot´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
15.4 Polinomios sim´ etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Cap´ ıtulo XVI: M´ odulos finitamente generados 281
16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289
Cap´ ıtulo XVII: Resoluci´ on de ecuaciones por radicales 293
17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3 Caracterizaci´ on de las extensiones radicales . . . . . . . . . . . . 303
17.4 La ecuaci´ on general de grado n ...................305
Ap´ endice A: El teorema de la base normal 307
Ap´ endice B: Extensiones inseparables 311
Ap´ endice C: La resultante 315
Bibliograf´ ıa 319
´ Indice de Tablas 321
´ Indice de Materias
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